Решение находится отделением переменных: $\frac{dy}{y^2}=dt$. Интегрируя, получаем $-\frac{1}{y}=t+C$. С учётом $y(0)=y_0$ получаем явную формулу
$$y(t)=\frac{y_0}{1-y_{0}t}(y_0\ne 0),$$ и для $y_0=0$ — тривиальное решение $y(t)\equiv 0$.
Существование и единственность: правая часть $f(y)=y^2$ непрерывна и локально Липшицева по $y$, следовательно по теореме Пикара–Линдемёра существует единственное локально определённое решение через начальную точку; явная формула даёт это решение и его продолжение по максимальному интервалу.
Максимальный интервал существования (содержащий $t=0$):
- если $y_0>0$, то единственное решение определено на $(-\infty ,1/y_0)$ и при $t\to (1/y_0{)}^{-}$ $y(t)\to +\infty$ (взрыв в конечное положительное время);
- если $y_0<0$, то единственное решение определено на $(1/y_0,+\infty )$ (заметим $1/y_0<0$) и при $t\to (1/y_0{)}^{+}$ $y(t)\to -\infty$ (взрыв в конечное отрицательное время), при $t\to +\infty$ $y(t)\to 0^{-}$;
- если $y_0=0$, то решение глобально на $\mathbb{R}$: $y(t)\equiv 0$.
Поведение и монотонность: поскольку $y^{\prime }=y^2\ge 0$, каждое ненулевое решение монотонно возрастает. Для $y_0>0$ значение растёт от $0$ при $t\to -\infty$ до $+\infty$ при приближении к $1/y_0$; для $y_0<0$ значение растёт (менее отрицательное) от $-\infty$ при $t\downarrow 1/y_0$ до $0^{-}$ при $t\to +\infty$.
Итого: единственность и локальное существование гарантированы для любых $y_0$, глобальное существование на всей $\mathbb{R}$ происходит только при $y_0=0$; при $y_0\ne 0$ решение имеет вертикальную асимптоту (взрыв) в конечное время $t=1/y_0$.