Коротко — разложите $x$ на целую и дробную части и пользуйтесь кусочно‑задаными формулами. Пусть $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$, где $\{x\}\in [0,1)$. Тогда
$$\lfloor 2x\rfloor =\lfloor 2\lfloor x\rfloor +2\{x\}\rfloor =2\lfloor x\rfloor +\lfloor 2\{x\}\rfloor .$$ Поскольку $\{x\}\in [0,1)$, имеем $\lfloor 2\{x\}\rfloor \in \{0,1\}$, и потому явно
$$\lfloor 2x\rfloor =\{\begin{array}{ll}2\lfloor x\rfloor ,& \text{если}\{x\}\in [0,\frac{1}{2}),\\ 2\lfloor x\rfloor +1,& \text{если}\{x\}\in [\frac{1}{2},1).\end{array}$$ Аналогично для дробной части
$$\{2x\}=\{\begin{array}{ll}2\{x\},& \{x\}\in [0,\frac{1}{2}),\\ 2\{x\}-1,& \{x\}\in [\frac{1}{2},1).\end{array}$$
Типичные места, где «тождественное упрощение» вносит ошибку:
- Ошибка: считать $\lfloor 2x\rfloor =2\lfloor x\rfloor$ или $\{2x\}=2\{x\}$ для всех $x$. Контрпример: $x=0.75$: $\lfloor 2x\rfloor =\lfloor 1.5\rfloor =1\ne 0=2\lfloor x\rfloor$; $\{2x\}=0.5\ne 1.5=2\{x\}$, но $\{2x\}=2\{x\}-1$.
- Границы: при $\{x\}=\frac{1}{2}$ поведение меняется (скачок): $\lfloor 2\cdot (\text{полу})\rfloor$ прибавляет 1, $\{2x\}$ сбрасывается в 0 — надо явно учитывать равенства.
- Решение уравнений/неравенств: неверно «делить» или «вынести» функцию целой части. Пример: решение $\lfloor 2x\rfloor =\lfloor x\rfloor$. Неправильный приём: считать, что это даёт $2\lfloor x\rfloor =\lfloor x\rfloor \Rightarrow \lfloor x\rfloor =0\Rightarrow x\in [0,1)$. Правильный разбор даёт $x\in [0,\frac{1}{2})$ (т.е. меньший набор).
- Интегралы и суммы: ${\int }_0^1\lfloor 2x\rfloor dx=\frac{1}{2}$, тогда как ${\int }_0^{1}2\lfloor x\rfloor dx=0$. Нельзя подставлять линейность внутрь $\lfloor \cdot \rfloor$.
- Обобщение: для целого $k$ верна формула $\lfloor kx\rfloor =k\lfloor x\rfloor +\lfloor k\{x\}\rfloor$, поэтому дополнительный член $\lfloor k\{x\}\rfloor$ нельзя забывать (он даёт разницу $0,\dots ,k-1$).
Вывод: всегда разделяйте целую и дробную части и используйте кусочно‑заданные выражения; особенно аккуратно относитесь к порогам $\{x\}=\frac{1}{2}$ (и в общем случае к точкам, где $k\{x\}$ достигает целого).