Пример «доказательства». Пусть $a=b$. Тогда
$$a^2=ab.$$ Вычтем $b^2$:
$$a^2-b^2=ab-b^2.$$ Сфакторируем:
$$(a-b)(a+b)=b(a-b).$$ Отменяем множитель $(a-b)$ и получаем
$$a+b=b,$$ то есть при $a=b$ — $2b=b$, далее при $b\ne 0$ делим на $b$ и получаем $2=1$, откуда «всё равно».
Скрытая ошибка. Шаг «отменяем множитель $(a-b)$» эквивалентен делению на $(a-b)$. Но из исходного предположения $a=b$ следует $(a-b)=0$. Деление на ноль запрещено. Поэтому шаг неэквивалентен и нарушает корректность вывода — это и есть единственная алгебраическая ошибка.
Формализация правила (корректное условие отмены):
- Из равенства $(x-y)z=(x-y)w$ можно заключить $z=w$ только если известно, что $x-y\ne 0$.
- В общем: операцию «умножить/разделить обе части уравнения на выражение $g$» можно выполнять только при предварительно доказанном $g\ne 0$.
- Эквивалентная запись: в поле (или в любом кольце) правило отмены звучит так: из $xy=zy$ следует $x=z$ лишь при условии, что $y$ — единица обратима (в поле: $y\ne 0$).
Практическая рекомендация: при факторизации/отмене всегда делать разбор случаев: либо фактор равен нулю (и это даёт одно семейство решений), либо фактор не равен нулю (и в этом случае можно делить). Только так сохраняется корректность рассуждений.