Короткий ответ: если задана только высота, то максимума площади нет (площадь неограниченно растёт при увеличении основания). При дополнительных ограничениях (фиксированное основание, фиксированный периметр, закреплённые точки основания и т.п.) максимизирующая фигура обычно симметрична относительно высоты (т. е. треугольник — равнобедренный); дальше — пояснения разными подходами и какие условия важны.
Аналитический подход
- Формула площади через основание и высоту: $$S=\frac{1}{2}bh,$$ где $h$ задана, $b$ — длина основания.
- При фиксированном $h$ $S$ прямо пропорциональна $b$. Если $b$ не ограничено сверху, то $S\to \infty$ при $b\to \infty$. Вывод: при единственной заданной высоте максимума нет.
Геометрический подход
- Пусть высота опущена из вершины $A$ на прямую, на которой лежит основание $BC$, и расстояние $AD=h$ фиксировано. Двигая точки $B$ и $C$ по этой прямой в стороны от перпендикуляра, можно делать $BC$ сколь угодно большим, при этом $AD$ остаётся равным $h$. Площадь $\frac{1}{2}BC\cdot AD$ растёт — максимум не существует.
- Если добавить симметричный ограничитель (например, зафиксировать отрезок, на котором должны лежать $B$ и $C$), то очевидно, что для данного отрезка оптимальна конфигурация с $B$ и $C$ в его концах, либо (при иных ограничениях) симметрия относительно высоты даёт оптимум.
Какие дополнительные условия меняют ответ (и тип результата)
- Фиксированное основание $b_0$: тогда площадь фиксирована $$S=\frac{1}{2}{b}_{0}h.$$ - Ограничение на положение концов основания (например, $B,C$ должны принадлежать заданному отрезку длины $L$): максимум при $BC=L$, $S_{\max }=\frac{1}{2}Lh.$ - Фиксированный периметр $P$ (или фиксированная сумма двух сторон): тогда $b$ ограничено триугольными неравенствами и существует максимальная площадь; симметричность (равнобедренность относительно высоты) обычно даёт оптимум — кратко: отражением одной боковой стороны относительно высоты доказуемо, что при фиксированных суммах сторон экстремум достигается при симметричной расстановке вершин.
- Ограничение на положение вершины (например, вершина обязана лежать на фиксированной прямой на расстоянии $h$ от базы) + ограничение на область для основания обычно приводят к конечному максимуму, достигаемому при симметричной конфигурации.
- Ограничения типа «описанный или вписанный круг фиксированного радиуса» или «фиксированная площадка для вершины» изменяют задачу и дают разные оптимумы, но часто оптимальное — симметричный (равнобедренный) треугольник.
Итого: при только одном условии «высота = const» максимум отсутствует; чтобы получить конечный оптимум, нужна дополнительная верхняя граница на длину основания или другие ограничения, и в большинстве естественных ограниченных постановок оптимальное — равнобедренный треугольник с высотой, проходящей через середину основания.