Кратко: вопрос о том, существуют ли бесконечно много простых чисел вида $n^2+1$, остаётся открытым. Ниже — сжатое изложение связанных гипотез, методов и известных частичных результатов.
1) Формулировка и статус
- Открытая проблема (она же «четвёртая проблема Ландау»): неизвестно, бесконечно ли простых чисел вида $n^2+1$.
- Общая ожидаемая околична: согласно общим гипотезам о простых, таких простых должно быть бесконечно много.
2) Главные гипотезы и предсказания
- Гипотеза Буняковского: неприводимая целочисленная многочленная функция $f(n)$ без общего простого делителя принимает бесконечно много простых значений; для $f(n)=n^2+1$ это даёт бесконечность простых.
- Гипотеза Шинцеля — Сьерпиньского (Hypothesis H): обобщает Буняковского на несколько многочленов; в частности даёт бесконечность простых для $n^2+1$.
- Гипотеза Батемана—Хорна (Bateman–Horn): даёт точный асимптотический прогноз. В общем виде для многочлена $f$ она предсказывает
$$\#\{n\le X:f(n)\text{простое}\}\sim C_f{\int }_2^X\frac{dt}{\log f(t)}\sim C_f\frac{X}{\log X},$$ где константа $C_f$ определяется произведением по простым (в случае $f(n)=n^2+1$ — положительная константа). По этой гипотезе простых вида $n^2+1$ бесконечно много и их плотность примерно $C\cdot X/\log X$ по $n\le X$.
3) Основные методы и почему задача трудна
- Алгебраическая интерпретация: $n^2+1$ — норма в кольце Гауссовых целых $\mathbb{Z}[i]$. Проблема эквивалентна тому, что существует бесконечно много простых рациональных, раскладывающихся в $\mathbb{Z}[i]$ и имеющих один множитель нормой $n^2+1$. UFD в $\mathbb{Z}[i]$ упрощает структуру, но не даёт аналитического способа найти бесконечно много таких норм.
- Сайвовые методы (Brun, Selberg, современный развитие): эффективны для получения «почти простых» (almost primes), но сталкиваются с «проблемой чётности» (parity problem), мешающей выделить одиночные простые факторы.
- Аналитические методы (теория L‑функций, оценки для сумм вида Kloosterman, методы билинейных сумм, спектральные методы и т.д.) используются для более тонкой обработки распределения делителей и для специальных форм, но пока не дают полного результата для $n^2+1$.
- Специальные техники (Friedlander–Iwaniec, модульные и автоморфные методы) дали успехи для других квадратичных форм при наличии дополнительной структуры (см. ниже).
4) Известные частичные результаты
- Iwaniec (1978): бесконечно много $n$ таких, что $n^2+1$ — «почти простое» с ограниченным числом простых делителей. Формально: существует бесконечно много $n$ с $\Omega (n^2+1)\le 2$ (где $\Omega$ — общее число простых делителей с учётом кратности). (То есть $n^2+1$ имеет не более двух простых множителей.)
- Результаты типа Friedlander–Iwaniec (1998): доказано существование бесконечно многих простых чисел представимых в виде $a^2+b^4$. Это примеры, где особая структура (чётвёртая степень) позволила получить бесконечно много простых, но техника не переносится напрямую на $n^2+1$.
- Общие сайвовые результаты: можно получить много «почти простых» значений $n^2+1$ (P_k для малого фиксированного $k$), но детектировать ровно одно простое значение (P_1) не удаётся из‑за парадокса чётности.
- Классические факты: бесконечно много простых делителей чисел вида $n^2+1$; каждое нечетное простое делитель $p$ такого числа удовлетворяет $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$. Но это не даёт простых самих по себе вида $n^2+1$.
5) Условные результаты
- При допущении гипотез вроде Schinzel-H или Bateman–Horn утверждение о бесконечности простых вида $n^2+1$ следует без трудностей. GRH сам по себе обычно не достаточен для доказательства бесконечности простых для нелинейных многочленов; нужны более сильные предположения о распределении простых в специальных последовательностях.
6) Барьеры и перспективы
- Главный технический барьер — «parity problem» сайвов: стандартный сайв не отличает числа с нечётным числом простых множителей от тех с чётным, поэтому не позволяет гарантировать единичность простого фактора.
- Новые идеи обычно приходят от комбинации аналитики (оценки L‑функций, билinear sums), алгебраической структуры и тонких улучшений сайвов; прогресс возможен всё ещё при неожиданных новых методах (как это было для $a^2+b^4$), но пока конкретного решения нет.
7) Коротко о численных данных
- Много примеров простых $n^2+1$ обнаружено вычислительно (на больших диапазонах), но вычисления не заменяют доказательство бесконечности.
Резюме: вопрос открыт; стандартные гипотезы (Буняковский/Шинцель/Батеман—Хорн) предсказывают бесконечность и дают асимптотику, современные методы доказали только многочисленные частичные утверждения (в частности бесконечность «почти простых» значений и примеры для родственных форм), но прямого доказательства бесконечности простых значений $n^2+1$ пока нет.