Формула Герона (обозначая полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$)
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Доказательства (кратко, два стандартных пути).
1) Тригонометрическое доказательство. Пусть угол между сторонами $a,b$ равен $\gamma$. Тогда
$$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma ,\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ Следовательно
$${\sin }^2\gamma =1-{\cos }^2\gamma =\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4a^2{b}^2}.$$ Подставляя в $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ и упрощая, получаем формулу Герона.
2) Алгебраическое (через проекции/высоту). Пусть из вершины на сторону $c$ опущена высота, она делит $c$ на отрезки $x$ и $y$ ($x+y=c$). По теореме Пифагора
$$a^2=h^2+y^2,b^2=h^2+x^2.$$ Вычитая и выражая $x,y$ через $a,b,c$, затем подставляя в выражение для площади $S=\frac{1}{2}ch$ и устраняя $h$, после алгебраических преобразований получаем
$$16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c),$$ что эквивалентно формуле Герона.
Обходы формулы Герона в практических ситуациях
- Если известны координаты вершин $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$, то проще и точнее применять формулу площадей через детерминант (шнур/shoelace):
$$S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|.$$ Эквивалентно: $S=\frac{1}{2}|\det (AB,AC)|$. Это численно устойчивее и проще, чем вычисление по сторонам и Герону.
- Если известны только высоты (альтитуды) $h_a,h_b,h_c$ к сторонам $a,b,c$: использовать связь
$$a{h}_a=b{h}_b=c{h}_c=2S.$$ Положим $u=\frac{1}{h_a},v=\frac{1}{h_b},w=\frac{1}{h_c}$. Тогда $a=ku,b=kv,c=kw$ при $k=2S$. Подставляя в формулу Герона и сокращая, получаем явную формулу площади через высоты:
$$S=\frac{1}{\sqrt{(u+v+w)(-u+v+w)(u-v+w)(u+v-w)}},$$ т.е.
$$S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})(-\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})(\frac{1}{h_a}-\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c})}}.$$ Отмечу: одна или две высоты без дополнительной информации недостаточны для однозначного определения площади (не хватает масштаба).
Короткие практические замечания:
- Для вычислений по координатам всегда предпочитайте детерминант/шнур.
- Для задач с $a,b,c$ — Герон удобен; три высоты тоже дают явную формулу через обратные высоты.