Кратко — случаи, детекция и способы устранения, альтернативы при вырожденных или плохо обусловленных матрицах.
Случаи, когда при Гауссе возникает деление на ноль (или «псевдо‑деление» на очень малое число):
- в текущем шаге выбран опорный элемент (pivot) равен нулю: $\text{pivot}=0$ (напр., первая ненулевая в столбце строка отсутствует);
- опорный элемент численно очень мал по сравнению с остальными (плохая обусловленность), что приводит к сильным ошибкам округления;
- матрица вырождена (линейно зависимые строки/столбцы), тогда для некоторых шагов все элементы в столбце ниже/на диагонали равны нулю;
- несогласованность или недоопределённость системы: хотя деления могут происходить, ранги $A$ и $[A|b]$ дают либо бесконечно много решений, либо ни одного.
Как детектировать:
- явная проверка опорного элемента перед делением: если $|\text{pivot}|<\epsilon$ — считать проблемным; выбирать $\epsilon$ относительным, например $\epsilon =\max (1,\Vert A{\Vert }_{\infty })\cdot \text{machine\_eps}$;
- вычислить ранг: через SVD — проверить минимальное сингулярное значение ${\sigma }_{\min }$ (если ${\sigma }_{\min }\le \epsilon$ — матрица близка к вырожденной);
- проверить $\det (A)$ (если возможно): $\det (A)=0$ — вырожденная;
- при пошаговом Гауссе: если в столбце нет ненулевого элемента ниже/на диагонали — нельзя делить без перестановки (pivot column zero).
Простейшие способы устранения при реализации метода Гаусса:
- частичный выбор главного элемента (row/partial pivoting): в шаге $k$ искать максимум по модулю в столбце $k$ среди строк $k..n$ и выполнить обмен строк; тогда $PA=LU$; это устраняет деление на ноль, за исключением случая, когда весь столбец нулевой;
- полный выбор главного элемента (complete/rook pivoting): обмен строк и столбцов — надёжнее, дорогостоит;
- масштабирование (row/column equilibration) перед факторизацией, чтобы избежать очень малых pivot относительных к остальным;
- использование порога: если лучший кандидат по модулю меньше $\epsilon$ — считать столбец нулевым и обработать как ранговое ограничение (переход к следующему столбцу, пометка переменной как свободной).
Что делать при действительно вырожденной или плохо обусловленной матрице (альтернативы):
- оценка ранга и работа с общей формой решения: найти частное решение $x_p$ и базис нулевого пространства $N$ (такие, что $AN=0$), общая форма решений $x=x_p+Nz$ (параметризация по свободным переменным);
- SVD + псевдообратная Мура-Пенроуза: $A=U\Sigma V^T$, $A^{+}=V{\Sigma }^{+}{U}^T$, решение минимальной нормы $x=A^{+}b$ — устойчиво при вырожденности;
- регуляризация (Tikhonov): решать $(A^{T}A+\lambda I)x=A^{T}b$ с небольшим $\lambda >0$ для стабилизации при плохо обусловленности;
- QR с перестановками (rank‑revealing QR) для определения ранга и получения устойчивой факторизации;
- LU с частичным/полным pivoting (если матрица невырождена или почти невырождена);
- итеративные методы (CG, GMRES, MINRES) с предобусловливанием для больших разреженных систем;
- в точных вычислениях (символически или с рациональными числами) применять перестановки — деление на ноль исчезает только если матрица действительно сингулярна; в этом случае нужен анализ ранга/параметризация.
Практическая процедура (алгоритм действий):
1. перед делением проверять $|\text{pivot}|<\epsilon$.
2. если да — выполнить частичный pivoting (обмен строк с максимальным по модулю элементом).
3. если после pivoting весь столбец нулевой — оценить ранг: вычислить SVD/QR с перестановкой или продолжить, помечая переменные как свободные; проверить согласованность системы (сравнить ранги $A$ и $[A|b]$).
4. при плохой обусловленности применять масштабирование, регуляризацию или переход на SVD/псевдообратную для устойчивого решения.
Короткие формулы (итоги):
- проверка нуля pivot: $|a_{kk}|<\epsilon$;
- LU с частичным pivoting: $PA=LU$;
- псевдообратная через SVD: $A^{+}=V{\Sigma }^{+}{U}^T$, решение минимальной нормы $x=A^{+}b$;
- регуляризация: $x=(A^{T}A+\lambda I{)}^{-1}{A}^{T}b$.
Это покрывает причины деления на ноль, способы детекции, методы устранения и альтернативы при вырожденных/плохо обусловленных матрицах.