Контрпример. Возьмём множество
$$D=(-2,-1)\cup (1,2)$$ и функцию
$$f(x)=x^2,x\in D.$$ Функция дважды дифференцируема на каждом компоненте $D$ и
$$f^{\prime \prime }(x)=2>0\text{для всех}x\in D.$$ Тем не менее утверждение "функция выпукла" нельзя сделать без дополнительного уточнения: множество $D$ невыпукло (между точками из разных компонент отрезок не лежит в $D$), поэтому понятие выпуклости на всём отрезке между произвольными двумя точками из области не применимо; если же рассматривать выпуклость на выпуклой оболочке $\mathrm{conv}(D)=(-2,2)$, то $f$ на этой оболочке не определена/не совпадает с квадратичной функцией, и поэтому нельзя утверждать выпуклость на $\mathrm{conv}(D)$.
Какие условия нужно уточнить. Правильная достаточная формулировка: если функция $f$ дважды дифференцируема на выпуклом (обычно: на промежутке в $\mathbb{R}$ или на выпуклом открытом множестве в ${\mathbb{R}}^n$) множестве и её вторая производная (или матрица Гессе в многомерном случае) невырожденно неотрицательна, т.е.
$$f^{\prime \prime }(x)\ge 0\text{для всех}x\text{(в одномерном случае),}$$ или в многомерном случае матрица Гессе положительно полуопределена во всех точках, то тогда $f$ выпукла. При дополнительном условии $f^{\prime \prime }(x)>0$ (или Гессе положительно определена) на связной выпуклой области получаем (строгую) выпуклость. Короткая причина: $f^{\prime \prime }\ge 0\Rightarrow f^{\prime }$ неубывает, отсюда выполняется определение выпуклости.