Рассматриваемый ряд:
$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^p},p>0.$
Краткие выводы
- Для любого $p>0$ ряд сходится (условно или абсолютно) по признаку Лейбница, так как члены $a_n=\frac{1}{n^p}$ положительны, монотонно убывают и ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$.
- Абсолютно ряд сходится тогда и только тогда, когда $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ сходится, то есть при $p>1$ (p‑ряд / интегральный признак). При $0<p\le 1$ абсолютная сумма расходится, следовательно при $0<p\le 1$ исходный ряд сходится условно.
Роль признака Лейбница
- Признак Лейбница (альтернативный ряд с монотонно убывающими к нулю модулями членов) гарантирует сходимость независимо от того, сходится ли сумма модулей. Он даёт также простой оценочный остаток:
$\left|S-S_n\right|\le a_{n+1}=\frac{1}{(n+1{)}^p},$ где $S$ — сумма ряда, $S_n$ — частичная сумма до $n$.
- Таким образом даже при $0<p\le 1$, когда $\sum 1/n^p$ расходится, знакочередующийся характер и убывание членов обеспечивают (условную) сходимость.
Дополнения и частные случаи
- При $p=1$ это чередующийся гармонический ряд, он сходится (по Лейбницу) к $\ln 2$, но не абсолютно.
- При $p>1$ ряд абсолютно сходится; сумма задаётся функцией Дирихле:
$\eta (p)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^p}$ и для $p>1$ выполняется соотношение $\eta (p)=(1-2^{1-p})\zeta (p)$.
- Если сходимость условная ($0<p\le 1$), то ряд подвержен эффектам перестановки членов: при условной сходимости возможны изменения суммы при перестановках (теорема Римана).
Итого: для всех $p>0$ ряд сходится по Лейбницу; при $p>1$ — абсолютно, при $0<p\le 1$ — условно.