Коротко — несколько способов и замечания по численной устойчивости.
1) Прямая формула через нормаль
- Пусть плоскость задана $ax+by+cz+d=0$\, и точка $P=(x_0,y_0,z_0)$. Тогда расстояние
$$\mathrm{dist}(P,\Pi )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$ - Это абсолютное значение «подписанного расстояния» $f(P)=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d$ делённое на длину нормали.
2) Через единичную нормаль (выгодно вычислительно)
- Введите $\hat{n}=\frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ и $d^{\prime }=\frac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Тогда
$$\mathrm{dist}(P,\Pi )=|\hat{n}\cdot P+d^{\prime }|.$$ - Выгодно, если нормаль заранее нормирована — вычисление сводится к одному скалярному произведению и модулю.
3) Проекция точки на плоскость (полезно, если нужен ближайший пункт)
- Ближайшая точка $P_{\text{proj}}$ и расстояние:
$$P_{\text{proj}}=P-\frac{a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c),\mathrm{dist}(P,\Pi )=\Vert P-P_{\text{proj}}\Vert .$$ - Это просто перенос вдоль нормали на величину подписи, делённую на $\Vert (a,b,c){\Vert }^2$ умноженную на вектор нормали.
4) Минимизация расстояния (альтернативный вывод)
- Если плоскость задана точкой $Q$ и двумя направляющими $u,v$, минимизируем $\Vert P-(Q+su+tv){\Vert }^2$; решение нормальных уравнений даёт проекцию. Это полезно при работе в параметрической форме.
Численная стабильность — когда нормировка важна
- Деление на $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ чувствительно к переполнению/потере точности, если $a,b,c$ очень большие или очень маленькие. Всегда используйте устойчивое вычисление нормы, например функцию $\mathrm{hypot}(a,b,c)$ (или вычисление с масштабированием: вынести $M=\max (|a|,|b|,|c|)$, затем $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=M\sqrt{(a/M{)}^2+(b/M{)}^2+(c/M{)}^2}$).
- Хранение нормали в нормированном виде ($\hat{n}$) избавляет от повторных корней и уменьшает число операций; вычисление расстояния сводится к одному скалярному произведению — обычно более устойчиво.
- Если $a,b,c$ малы и $d$ велик (или наоборот), возможна большая потеря значащих цифр при суммировании в числителе $a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d$. Полезно предварительно сдвинуть систему координат ближе к точке/плоскости (вычесть некоторую точку), чтобы избежать вычитания близких больших чисел.
- Особая проблема — вырожденная нормаль $(a,b,c)\approx (0,0,0)$: это не плоскость, надо проверять норму и обрабатывать отдельно.
- В целочисленных или фиксированных типах данных сначала масштабируйте коэффициенты, чтобы избежать переполнения при возведении в квадрат.
- Если требуется высокая точность в граничных ситуациях, используйте 64‑ или 128‑бит плавающую арифметику и функции с подкреплённой точностью (fma, hypot).
Рекомендации на практике
- При многократных вычислениях предварительно нормируйте нормаль и храните $\hat{n}$ и $d^{\prime }$.
- Для одиночного вычисления используйте устойчивый метод вычисления нормы (hypot/масштабирование).
- Проверяйте $\Vert (a,b,c)\Vert$ на ноль и при необходимости применяйте сдвиг координат для уменьшения потери значащих цифр.