а) Вероятность того, что страховая компания выплатила страховую сумму без суда в половине случаев равна:
0.8 * 0.5 = 0.4

б) Сначала найдем математическое ожидание и дисперсию числа выплат без суда за год:
Математическое ожидание (M) = n p = 200 0.8 = 160
Дисперсия (D) = n p (1 - p) = 200 0.8 0.2 = 32
Стандартное отклонение (σ) = √D = √32 ≈ 5.66

Теперь найдем вероятность того, что число выплат без суда заключено в интервале от 140 до 180:
P(140 ≤ X ≤ 180) = P((X-160) / 5.66 ≤ (180-160) / 5.66) - P((X-160) / 5.66 ≤ (140-160) / 5.66)
P(-3.54 ≤ Z ≤ 3.54) - P(-3.54 ≤ Z ≤ -1.77) = 2 P(-3.54 ≤ Z ≤ 3.54) - 1 = 2 0.9993 - 0.9616 ≈ 0.9966

Ответ: вероятность того, что число выплат без суда заключено в интервале от 140 до 180 равна примерно 0.9966.

в) Если было подано всего 4 заявки, то более половины значит удовлетворено 3 или 4 заявки. Вероятность этого равна:
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))
P(X = 0) = C(4, 0) 0.8^0 0.2^4 = 0.0016
P(X = 1) = C(4, 1) 0.8^1 0.2^3 = 0.0256
P(X = 2) = C(4, 2) 0.8^2 0.2^2 = 0.1536
P(X ≥ 3) = 1 - (0.0016 + 0.0256 + 0.1536) = 1 - 0.1808 = 0.8192

Ответ: вероятность того, что удовлетворили более половины заявок при 4 поданных заявках равна 0.8192.