Разбиение на 9 маленьких равносторонних треугольников соответствует порядку $n=3$ (сторона большого треугольника содержит $n$ маленьких). Любой четырёхугольник, составленный из отрезков сетки, имеет противоположные стороны параллельны, т.е. является параллелограммом. Посчитаем параллелограммы.
Для выбранной пары направлений (из трёх возможных) параллелограмм задаются длинами сторон $a,b\ge 1$ вдоль этих направлений с условием $a+b\le n$. Для заданных $a,b$ число положений равно
$$\frac{(n+1-a-b)(n+2-a-b)}{2}.$$ При $n=3$ возможны $(a,b)=(1,1),(1,2),(2,1)$ и соответствующие количества положений $3,1,1$, суммарно $5$ для одной пары направлений. Умножаем на $3$ пары направлений:
$$5\cdot 3=15.$$
Ответ: $15$.