Формулировка: для положительных чисел $a_1,\dots ,a_n$ докажите
$$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge (a_1\cdots a_n{)}^{1/n},$$ равенство достигается при $a_1=\cdots =a_n$.
Предлагаю несколько разных стратегий с краткими доказательствами и сравнением.
1) Алгебраическое (парами, для $n=2^k$ и расширение до общего $n$)
- База $n=2$: $(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2\ge 0$ даёт
$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$$ - Для $n=2^k$ делим набор на пополам и рекурсивно применяем неравенство к средним каждой половины; в итоге арифметическое среднее верхнеограничивает геометрическое (стандартное бинарное спаривание).
- Для общего $n$ возьмём $m=2^k\ge n$. Пусть $A=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i$. Дополним последовательность до длины $m$ вставив $m-n$ раз число $A$. Применяя случай $m$ получим
$$A=\frac{\sum b_i}{m}\ge (\prod _{i=1}^n{a}_i\cdot A^{m-n}{)}^{1/m},$$ откуда $A^n\ge {\prod }_{i=1}^n{a}_i$ и требуемое.
Комментарий: этот подход очень элементарен и нагляден для степеней двойки; расширение через дополнение до степени двойки — трюк, но работает.
2) Индукция (используя взвешенное AM–GM для двух чисел)
- Предположим верно для $n$: $A_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i\ge X=({\prod }_{i=1}^n{a}_i{)}^{1/n}$.
- Для $n+1$ применим взвешенное AM–GM к двум числам $X$ (с весом $n/(n+1)$) и $a_{n+1}$ (с весом $1/(n+1)$):
$$\frac{nX+a_{n+1}}{n+1}\ge X^{n/(n+1)}{a}_{n+1}^{1/(n+1)}.$$ Поскольку $A_n\ge X$, имеем
$$A_{n+1}=\frac{n{A}_n+a_{n+1}}{n+1}\ge \frac{nX+a_{n+1}}{n+1}\ge (\prod _{i=1}^{n+1}{a}_i{)}^{1/(n+1)},$$ что завершает индукцию.
Комментарий: индукция коротка и строго элементарна, использует лишь базовый случай $n=2$ и взвешенную формулу для двух чисел.
3) Через выпуклые/вогнутые функции (Jensen, кратко)
- Функция $\ln x$ вогнута на $(0,\infty )$. По неравенству Дженсена для вогнутой функции
$$\ln \left(\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right)\ge \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln a_i.$$ Экспоненцируя, получаем AM$\ge$GM:
$$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge \exp (\frac{1}{n}\sum \ln a_i)=(a_1\cdots a_n{)}^{1/n}.$$
Комментарий: очень краткое и концептуально ясное доказательство; легко обобщается на взвешенные средние и интегральные формы.
4) Экстремумный (метод множителей Лагранжа)
- Максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равных переменных. Рассматриваем максимум функции $\sum \ln a_i$ при $\sum a_i=$ const; условие стационарности даёт $1/a_i=\lambda$, т.е. все $a_i$ равны. Отсюда продукт максимум при равных — значит для произвольных чисел продукт не превышает случая равных, что эквивалентно AM$\ge$GM.
Комментарий: даёт интуицию экстремальности, но требует дифференцируемости и методов вариационного исчисления.
Сравнение по наглядности и общности
- Наиболее краткое и концептуальное: доказательство через вогнутость $\ln$ (Jensen). Очень удобно для обобщений (взвешенные версии, интегральные аналоги).
- Элементарное и доступное: индукция и бинарное парование. Индукция проста и минимально использует аналитические методы; парование нагляден для степеней двух, но требует трюка для общего $n$.
- Метод Лагранжа даёт пояснение «почему» равенство при всех равных (оптимальность), но использует анализ.
- Алгебраические версии (через неотрицательные квадраты при $n=2$, затем расширение) наиболее конструктивны для школьников.
Итого: выбор доказательства зависит от цели: для краткости и общности — Jensen; для элементарности и пошаговости — индукция/парами; для интуиции экстремума — Лагранж.