Рассматриваем ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$, где $a_n=(-1{)}^n\frac{n}{n^2+1}$. Пусть $b_n=\frac{n}{n^2+1}$.
1) Предел и монотонность:
- $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\frac{1}{1+1/n^2}=0$.
- Функция $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ имеет производную $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}<0$ при $x>1$, значит $b_n$ убывает для всех больших $n$. Поэтому условия признака Лейбница выполняются, следовательно ряд $\sum (-1{)}^n{b}_n$ сходится.
2) Абсолютная сходимость:
- Рассмотрим ряд абсолютных значений ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n^2+1}$.
- По пределу отношения к гармоническому: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n}{n^2+1}}{1/n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+1}=1$. Значит $\frac{n}{n^2+1}$ эквивалентно $\frac{1}{n}$, и ряд расходится.
- Или неравенство для всех $n\ge 1$: $\frac{n}{n^2+1}=\frac{1}{n}\frac{1}{1+1/n^2}\ge \frac{1}{2n}$, откуда явная дивергенция по сравнению с гармоническим рядом.
Вывод: ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n}{n^2+1}$ сходится условно (сходится по Лейбницу), но не сходится абсолютно (абсолютная сумма расходится, как гармонический ряд). Сравнение: абсолютные члены сопоставимы с $\frac{1}{n}$ (гармонический ряд), сам ряд — с чередующимся гармоническим $\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$.