Коротко — какие понятия нужны, затем конкретный пример.
Необходимые понятия:
- Банахово/Гильбертово пространство, плотная область оператора, замкнутый и плотнозаданный оператор.
- Резольвента и спектр: $\rho (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}:(T-\lambda I{)}^{-1}\in \mathcal{B}(X)\}$, $\sigma (T)=\mathbb{C}\setminus \rho (T)$.
- Разложение спектра: точечный спектр (собственные значения) ${\sigma }_p(T)=\{\lambda :\ker (T-\lambda I)\ne \{0\}\}$, непрерывный спектр ${\sigma }_c(T)$ (инъективно, образ плотен, но не совпадает с пространством), остаточный спектр ${\sigma }_r(T)$ (образ не плотен).
- Для нормальных/самосопряжённых операторов: спектр лежит на оси(для самосопр.) и нет остаточного спектра.
- Техника: преобразование (Фурье) переводит дифференцирование в умножение, спектр оператора умножения — существенный образ множителя.
Пример: оператор дифференцирования на $L^2(\mathbb{R})$.
Рассмотрим оператор $D$ на $L^2(\mathbb{R})$ заданный $(Df)(x)=f^{\prime }(x)$ с доменом $\mathcal{D}(D)=H^1(\mathbb{R})$. Под действием преобразования Фурье $\mathcal{F}$ получаем
$$\mathcal{F}D{\mathcal{F}}^{-1}=M_{i\xi },(M_{i\xi }\hat{f})(\xi )=i\xi \hat{f}(\xi ).$$ Спектр оператора умножения равен существенному образу множителя, поэтому
$$\sigma (D)=i\mathbb{R}.$$
Отсутствие собственных значений. Если $\lambda$ — собственное значение, то существует ненулевое $f\in H^1(\mathbb{R})\subset L^2(\mathbb{R})$ с $f^{\prime }=\lambda f$. Решения этого ОДУ имеют вид $f(x)=C{e}^{\lambda x}$; ни для какого $\lambda \in \mathbb{C}$ ненулевая такая функция не принадлежат $L^2(\mathbb{R})$ (кроме тривиального $C=0$). Аналогично через Фурье: при $\lambda$ из спектра
$$(i\xi -\lambda )\hat{f}(\xi )=0\text{п.в.},$$ откуда $\hat{f}=0$ в $L^2$. Значит ${\sigma }_p(D)=\varnothing$.
Характер спектра. Для любого $\lambda \in i\mathbb{R}$ оператор $D-\lambda I$ инъективен, образ плотен, но обратный оператор не ограничен (из-за деления на функцию, vanishing в точке), следовательно такие $\lambda$ лежат в непрерывном спектре: ${\sigma }_c(D)=i\mathbb{R}$, ${\sigma }_r(D)=\varnothing$.
Краткое резюме: для $D=d/dx$ на $L^2(\mathbb{R}),\mathcal{D}=H^1(\mathbb{R})$ спектр $\sigma (D)=i\mathbb{R}$ полностью непрерывный (нет собственных значений).