Кратко — критерии выбора и обоснование.
1) Общая постановка.
- Система: $A(\lambda )x=b(\lambda )$, размер $4\times 4$, параметр $\lambda$.
- Важные вопросы: нужно численное решение или аналитическое (символьное) выражение в зависимости от $\lambda$; несколько правых частей $b$ или одна; нужно изучить особые значения $\lambda$ (сингулярность, изменение ранга); требуемая устойчивость/точность.
2) Проверка сингулярности.
- Сначала вычислить или проанализировать $\det A(\lambda )$. Если $\det A(\lambda )\equiv 0$ или имеет корни — есть особые значения, при которых метод должен учесть ранги.
- Условие невырожденности: $\det A(\lambda )\ne 0$ для рассматриваемых $\lambda$.
3) Метод Гаусса (включая LU, с частичным выбором опоры) — рекомендованный по умолчанию:
- Причины: надежен, численно устойчив при частичном pivot-е, позволяет определить ранг и обработать вырожденные случаи (параметрические ветвления), сложность $O(n^3)$ (здесь $n=4$ — очень дешёво).
- Когда выбирать: численные вычисления, одна или несколько правых частей (LU-разложение переиспользуется), нужно анализировать особые $\lambda$ (ветвление решений по рангу), необходимо лучшая численная устойчивость.
- Замечание: не вычисляйте явный обратный для решения численно; вместо этого решайте через LU/прямой ход + обратный ход.
4) Метод обратной матрицы:
- Идея: получить $x=A^{-1}b$.
- Когда выбирать: если вам нужно решить систему для многих $b$ при одном и том же $\lambda$ и матрица невырождена, или если нужен явно $A^{-1}(\lambda )$ для дальнейшей символики.
- Минусы: вычисление обратной — лишняя работа для одной правой части, хуже с точки зрения численной устойчивости по сравнению с прямым решением; сложность также $O(n^3)$, но с большими константами.
- Рекомендация: в численных задачах заменять на LU-разложение; в символических — только если нужен явный $A^{-1}(\lambda )$.
5) Метод Крамера:
- Формулы: $x_i=\frac{\det A_i(\lambda )}{\det A(\lambda )}$, где $A_i$ — матрица с заменённым $i$-м столбцом.
- Когда выбирать: требуется явный символьный выражённый вид переменных как дроби от $\lambda$, и $n$ мал (здесь $4$ — приемлемо); удобно для аналитического исследования зависимости и поиска корней знаменателя $\det A(\lambda )$.
- Минусы: вычисление множества детерминантов может быть громоздким символьно (но для $4\times 4$ обычно терпимо); неэффективен и менее стабилен для численных расчётов по сравнению с Гауссом.
- Полезен для: изучения устойчивости, явной факторизации знаменателя, доказательства уникальности решения при $\det A(\lambda )\ne 0$.
6) Критерии выбора, сводка (если коротко):
- Если нужно надёжное численное решение для конкретного $\lambda$: Gauss/LU с частичным pivot-ом.
- Если матрица одинакова и нужно много правых частей: LU или (реже) явный $A^{-1}$ после проверки условий.
- Если требуется символьная зависимость решений от $\lambda$ в явном виде: Крамер (или символьный Гаусс с разбором случаев); для компактных рациональных выражений Крамер даёт явные дроби.
- Если нужно определить значения $\lambda$, где система вырождается или меняется ранг: символьный Гаусс (ранговый анализ) или исследование $\det A(\lambda )$.
- Всегда избегать явного вычисления $A^{-1}$ для одного численного решения — предпочтительней решение через LU/Gauss.
7) Практическая рекомендация для задачи 4×4 с параметром:
- Шаг 1: вычислить/проанализировать $\det A(\lambda )$.
- Шаг 2: если задача численная и $\lambda$ фиксирован — Gauss с частичным pivot-ом (или LU).
- Шаг 3: если нужен аналитический вид переменных — Крамер или символьный Гаусс; если много $b$ при разных $\lambda$ — рассмотреть символический LU/инверсию.
- Шаг 4: при корнях $\det A(\lambda )=0$ — использовать Гаусс для определения ранга и параметрического описания множества решений.