Ошибка: в доказательстве пропущено требование существования (собственного или несобственного) интеграла. При разбиении и подстановке предполагают, что интегралы по частям ${\int }_{-a}^{0}f$ и ${\int }_0^{a}f$ существуют; без этого равенства нельзя применять.
Контрпример: $f(x)=1/x$ на $[-1,1]$ — нечётная функция. Её "среднее" (Кошианский глав. предел)
$p.v.{\int }_{-1}^1\frac{dx}{x}=0$, но несобственный интеграл не сходится, потому что
${\int }_{\epsilon }^1\frac{dx}{x}=-\ln \epsilon \to \infty$ при $\epsilon \to 0+$. Следовательно утверждение "всякая нечётная функция на симметричном отрезке имеет интеграл равный нул" неверно без условия существования интеграла.
Корректные формулировки:
1) Если $f:[-a,a]\to \mathbb{R}$ нечётна и Riemann-интегрируема на $[-a,a]$, то
$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0.$$ Доказательство: подстановка $x=-t$ даёт
$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(-t)dt=-{\int }_0^{a}f(t)dt,$$ откуда сумма равна нулю.
2) То же верно для Lebesgue-интегрируемых функций: если $f$ нечётна и ${\int }_{-a}^a|f|<\infty$ (или хотя бы ${\int }_{-a}^{a}f$ существует как Lebesgue-интеграл), то ${\int }_{-a}^{a}f=0$.
3) Для несобственных интегралов на $(-a,a)$: если оба односторонних несобственных интеграла ${\int }_{-a}^{0}f$ и ${\int }_0^{a}f$ сходятся (т.е. интеграл ${\int }_{-a}^{a}f$ определён как сумма этих пределов), то при нечётности $f$ их сумма равна нулу. Замечание: условие существования интеграла обязательно; Кошианский главный предел ($p.v.$) может быть нулём, даже если обычный несобственный интеграл не существует (пример $1/x$).