Задание для учеников (найти и исправить ошибку):
1) Дано уравнение: $(x-2)(x+3)=x-2$.
2) Ниже — неверное решение. Найдите ошибку и полностью решите уравнение.
Неверное решение:
$(x-2)(x+3)=x-2$
Делим обе части на $x-2$ и получаем $x+3=1$, отсюда $x=-2$. Ответ: $x=-2$.
Вопросы к учащимся:
- В чём состоит ошибка этого решения?
- Найдите все корни исходного уравнения.
- Покажите правильный способ решения и проверьте полученные корни подстановкой в исходное уравнение.
Краткое указание для проверки и исправления (как обнаружить и устранить ошибку):
- Ошибка: деление на выражение $x-2$ запрещено, когда $x-2=0$ (можно потерять корень). Всегда проверяйте возможность деления на ноль.
- Правильный ход: перенести все в левую часть и вынести общий множитель:
$$(x-2)(x+3)-(x-2)=0\Rightarrow (x-2)((x+3)-1)=(x-2)(x+2)=0.$$ Отсюда корни $x=2$ или $x=-2$.
- Контроль: подставьте $x=2$ и $x=-2$ в исходное уравнение, оба подходят.
- Альтернативный метод, если решали делением: можно рассмотреть два случая отдельно:
- Случай 1: $x-2=0$ даёт $x=2$.
- Случай 2: $x-2\ne 0$. Тогда можно делить на $x-2$ и получать $x+3=1\Rightarrow x=-2$.
Такое разбиение гарантирует, что корни не потеряны.
Резюме для учащихся: никогда не делите на выражение, не проверив заранее, может ли оно быть равно нулю; лучше выносить множитель или рассматривать отдельные случаи.