Краткая формулировка и обсуждение.
1) Непрерывность. Утверждение истинно:
- Теорема. Пусть $f_n:E\to \mathbb{R}$ — непрерывные функции на множестве $E$ и $f_n$ сходится равномерно к $f$ на $E$. Тогда $f$ непрерывна на $E$.
- Доказательство (эскиз). Для любого $\epsilon >0$ найдётся $N$ такое, что для $n\ge N$ выполнено $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon /3$ для всех $x$. Так как $f_N$ непрерывна, для данного $x_0$ существует $\delta$ такое, что $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f_N(x)-f_N(x_0)|<\epsilon /3$. Тогда при $|x-x_0|<\delta$ имеем $|f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<\epsilon$.
2) Дифференцируемость. В общем виде утверждение ложно: равномерная сходимость $f_n$ и дифференцируемость всех $f_n$ не гарантируют дифференцируемость предела и равенство производной предела пределу производных. Контрпримеры:
- Контрпример 1 (предел не дифференцируем). На $[-1,1]$ положим
$$f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}.$$ Тогда $f_n$ дифференцируемы на $[-1,1]$ и $f_n\rightrightarrows f$, где
$$f(x)=|x|.$$ Но $f$ не дифференцируема в $0$. Здесь явная причина: $f_n^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1/n}}$ не сходится к однозначной производной в окрестности $0$.
- Контрпример 2 (предел дифференцируем, но нельзя обменять предел и производную). На $\mathbb{R}$ или на $[0,2\pi ]$ возьмём
$$f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{n}.$$ Тогда $f_n\rightrightarrows 0$ (равномерно), но $f_n^{\prime }(x)=\cos (nx)$ не сходится (вообще) ни к какому пределу; то есть предел производных не существует, и нельзя просто подставить предел под знак производной.
3) Условия, которые спасают дифференцируемость. Существует простое достаточное условие:
- Теорема (достаточное условие). Пусть $I$ — интервал, $f_n:I\to \mathbb{R}$ дифференцируемы на $I$. Предположим, что $f_n^{\prime }$ сходятся равномерно на $I$ к некоторой функции $g$ и существует $x_0\in I$ такое, что $f_n(x_0)$ сходится. Тогда $f_n$ сходятся равномерно на $I$ к функции $f$, причём $f$ дифференцируема на $I$ и
$$f^{\prime }(x)=g(x)\text{для всех}x\in I.$$
- Идея доказательства. Для любых $x\in I$ по теореме о среднем значении (или интегральному представлению)
$$f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\prime }(t)dt.$$ При $n\to \infty$ правая часть стремится к ${\lim }_n{f}_n(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}g(t)dt$ в силу равномерной сходимости $f_n^{\prime }$, поэтому $f_n$ сходятся равномерно к функии $f(x)={\lim }_n{f}_n(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}g(t)dt$, и по фундаментальной теореме анализа $f^{\prime }(x)=g(x)$.
4) Выводы (точные границы истинности).
- Сохранение непрерывности: всегда верно при равномерной сходимости непрерывных функций.
- Сохранение дифференцируемости: в общем нет. Для гарантии достаточно потребовать равномерной сходимости производных (и сходимости функций в одной точке, или равномерной сходимости самих функций); без этого могут быть контрпримеры (см. выше).