Краткие критерии выбора метода для предела вида ${\lim }_{x\to a}f(x{)}^{g(x)}$ в неопределённости $1^{\infty }$:
- Привести в вид экспоненты через логарифм: если $f(x)>0$ в окрестности $a$, записать $y=f(x{)}^{g(x)}$, $\ln y=g(x)\ln f(x)$. Тогда
$$\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=e^{{\lim }_{x\to a}g(x)\ln f(x)}$$ при условии, что предел в экспоненте существует (включая $\pm \infty$).
- Перевести произведение в дробь для применения l'Hôpital, если требуется:
$$g(x)\ln f(x)=\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}.$$ Применять l'Hôpital можно, когда образуется $0/0$ или $\infty /\infty$ и функции дифференцируемы.
- Использовать разложения/эквиваленты при $f(x)=1+u(x)$, $u(x)\to 0$:
$$\ln (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2).$$ Частый упрощённый шаг: $\ln (1+u)\sim u$. Он корректен только если погрешность $o(u)$ умноженная на $g(x)$ даёт $o(1)$, т.е. требуется условие
$$g(x)u(x{)}^2=o(1).$$
- Если $g(x)\ln f(x)\to L$ (конечный) — ответ $e^L$. Если $g(x)\ln f(x)\to +\infty$ — предел $+\infty$; если $-\infty$ — предел $0$.
- Проверять область определения: если $f(x)$ иногда $\le 0$, натуральный логарифм не определён в $\mathbb{R}$, тогда либо предел не существует в $\mathbb{R}$, либо нужно рассматривать целые степени/комплексные значения отдельно.
Примеры, где очевидный логарифмический приём даёт тонкости:
1) Классический (успешный логарифм):
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}.$$ Берём логарифм: $(1/x)\ln (1+x)\to 1$, отсюда предел равен $e$.
2) Осцилляция, когда $g(x)\ln f(x)$ не имеет предела:
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x\sin (1/x){)}^{1/x}.$$ Здесь $u(x)=x\sin (1/x)$, $\ln (1+u)\sim u$, поэтому
$$g(x)\ln f(x)\sim \frac{1}{x}\cdot x\sin (1/x)=\sin (1/x),$$ который не имеет предела при $x\to 0$. Следовательно исходный предел не существует; значения лежат в интервале $[e^{-1},e^1]$. Тонкость: формально логарифм даёт произведение, но оно осциллирует — нельзя сразу написать конкретное число.
3) Когда достаточно учитывать старшие члены разложения (ошибка важна): условие $g{u}^2=o(1)$ нарушается, и вклад $-\frac{u^2}{2}$ влияет на предел. Например, по ряду последовательностей/параметров можно получить разные предельные значения, если ведущие члены частично компенсируются. (Иллюстрация: если $u=u_n$ и $g_n{u}_n\to 0$, но $g_n{u}_n^2\to C\ne 0$, то $\ln (1+u_n)\approx u_n-\frac{u_n^2}{2}$ даёт вклад $-C/2$ в экспоненте — нужно учитывать второй порядок.)
4) Проблема знака/области определения:
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1-2{\sin }^2(1/x){)}^{1/x}.$$ Базовая величина $f(x)$ принимает отрицательные значения, логарифм в $\mathbb{R}$ не определён, поэтому тривиальный логарифмический приём неприменим; возможно, предел в $\mathbb{C}$ или не существует в $\mathbb{R}$. Надо исследовать отдельно моменты, когда степень целая, или менять подход.
Резюме-порядок действий: проверить $f(x)>0$; перейти к $g\ln f$; выбрать инструмент (эквивалент, l'Hôpital, разложение) в зависимости от порядка малости $u=f-1$ и скорости роста $g$; обязательно проверить случаи осцилляции и знак функции.