Для решения данного дифференциального уравнения воспользуемся методом разделения переменных.

Подставляем y = y1, y' = y2, y'' = y2' в уравнение:

y2' + 2y1y2^3 = 0

Теперь проведем разделение переменных:

dy1/dt = y2
dy2/dt = -2y1y2^3

Используем начальные условия: y(0) = 2, y'(0) = 1/3

Интегрируем первое уравнение:

∫dy1 = ∫y2 dt
y1 = ∫y2 dt + C1

Дифференцируем второе уравнение:

dy2/dt = -2y1y2^3
dy2 = -2y1y2^3 dt

Подставляем выражение для y1 из первого уравнения во второе:

dy2 = -2(y1 + C1)y2^3 dt
dy2/(y2^3(y2 + C1)) = -2dt

Интегрируем это уравнение:

∫dy2/(y2^3(y2 + C1)) = -2∫dt
-1/(2(y2 + C1)^2) = -2t + C2

Из начальных условий найдем константы C1 и C2:

y(0) = 2 => y1(0) = 2 => C1 = 2
y'(0) = 1/3 => y2(0) = 1/3 => 1/(2(1/3 + 2)^2) = -2 * 0 + C2 => C2 = 1/108

Таким образом, найдены константы C1 = 2 и C2 = 1/108.

Итак, искомые решения уравнения составляют систему:

y1 = -1/(2y2 + 4) + 21/(2(y2 + 2)^2) = -2t + 1/108

Это и есть решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения.