Предположим, что множество натуральных чисел не имеет наименьшего элемента. То есть, для любого натурального числа n найдется такое число m, что m < n.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, для которых это утверждение верно. Поскольку для каждого натурального числа этому условию удовлетворяет хотя бы одно число, то это множество не пусто. По принципу благополучия, у такого множества должен существовать наименьший элемент.

Пусть это наименьшее число обозначается как k. Так как k принадлежит множеству, то по определению k должно быть такое число m, что m < k. Но это противоречит предположению о том, что k является наименьшим числом в множестве. Следовательно, предположение о том, что множество натуральных чисел не имеет наименьшего элемента, неверно.

Таким образом, множество натуральных чисел имеет наименьший элемент, который равен 1.