Чтобы найти частные производные функции, заданной неявно, нужно продифференцировать данное уравнение по переменным x, y и z.

Исходное уравнение: 2x² + 2y² + z² - 6xz - z + 8 = 0

По x:
∂/∂x (2x² + 2y² + z² - 6xz - z + 8) = 4x - 6z = 0
Отсюда найдем ∂z/∂x:
∂z/∂x = 2/3

По y:
∂/∂y (2x² + 2y² + z² - 6xz - z + 8) = 4y = 0
Отсюда ∂z/∂y = 0

По z:
∂/∂z (2x² + 2y² + z² - 6xz - z + 8) = 2z - 6x - 1 = 0
Отсюда z = 3x + 1
∂z/∂z = 1

Таким образом, частные производные функции:
∂z/∂x = 2/3
∂z/∂y = 0
∂z/∂z = 1