Данная задача является задачей линейного программирования.Приведем задачу к симплексной форме:
Z(x) = x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 → max
2x1-x2+s1=5
x1+2x2+s2=8
x1+x2+s3=5
Где s1, s2, s3 - дополнительные переменные, которые добавлены для приведения к симплексной форме.Решим задачу симплекс-методом:
Шаг 1. Приведем систему уравнений к стандартной форме:
2x1 - x2 + s1 = 5
x1 + 2x2 + s2 = 8
x1 + x2 + s3 = 5
Шаг 2. Изобразим систему неравенств графически и найдем область решений:
[Вставить график]
Шаг 3. Найдем опорное решение в узле (0, 0):
20 - 0 + s1 = 5
0 + 20 + s2 = 8
0 + 0 + s3 = 5
s1 = 5
s2 = 8
s3 = 5
Получаем опорное решение (0, 0, 5, 8, 5) с Z(x) = 0.
Шаг 4. Выберем разрешающий столбец с максимальным значением: x1.
Шаг 5. Выберем разрешающую строку по минимальному отношению b/a: 5/2 = s1.
Шаг 6. Пересчитаем систему уравнений с использованием разрешающего элемента:
x1 = 0.5s1 + 2.5
x2 = 5 - 0.5s1
s2 = 8 - s1
s3 = 5 - 0.5s1
Z(x) = 0.5s1 + 2.5 + 2*(5 - 0.5s1) = 15.5 - s1
Шаг 7. Пересчитаем опорное решение: (2.5, 5, 0, 5, 2).
Шаг 8. Выполним итерацию с новым опорным решением.
Шаг 9. Повторим шаги 4-8 до достижения оптимального решения.
Z(x) = 15.5 - s1
Получаем оптимальное решение Z(x) = 15.5 при x1 = 2.5, x2 = 5.