Для начала раскладываем на два интеграла:
[tex]\int\limits^0 {-1} \frac{3^x}{6^x}\, dx - \int\limits^0 {-1} \frac{2^x}{6^x}\, dx[/tex]

Упрощаем выражения:
[tex]\int\limits^0 {-1} \frac{3^x}{6^x}\, dx = \int\limits^0 {-1} \left(\frac{1}{2}\right)^x\, dx[/tex]
[tex]\int\limits^0 {-1} \frac{2^x}{6^x}\, dx = \int\limits^0 {-1} \left(\frac{1}{3}\right)^x\, dx[/tex]

Теперь ищем интеграл первого выражения:
[tex]\int\limits^0 {-1} \left(\frac{1}{2}\right)^x\, dx = \frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}\Bigg|{-1}^0 = -\frac{1}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} + \frac{2}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} = -\frac{1}{\ln2} + \frac{2}{\ln2} = \frac{1}{\ln2}[/tex]

Аналогично найдем интеграл второго выражения:
[tex]\int\limits^0 {-1} \left(\frac{1}{3}\right)^x\, dx = \frac{-\left(\frac{1}{3}\right)^x}{\ln\left(\frac{1}{3}\right)}\Bigg|{-1}^0 = \frac{1}{\ln3} - \frac{3}{\ln3} = -\frac{2}{\ln3}[/tex]

Теперь сложим результаты:
[tex]\frac{1}{\ln2} - \frac{2}{\ln3}[/tex]

Итак, значение интеграла равно [tex]\frac{1}{\ln2} - \frac{2}{\ln3}[/tex]