Для нахождения производной сложной функции необходимо использовать цепное правило дифференцирования.

Давайте выразим функцию y в следующем виде:
[tex]y=2\sqrt{3} arctg\left(\frac{1+2x^{\frac{1}{3} } }{\sqrt{3} }\right) = 2\sqrt{3} arctg(u)[/tex]

Где u = (1 + 2x^(1/3)) / sqrt(3).

Теперь продифференцируем y по x:
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(2\sqrt{3} arctg(u)\right) = 2\sqrt{3} \frac{d}{dx}arctg(u)[/tex]

Применим цепное правило:
[tex]\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} arctg(u) = \frac{1}{1+u^2}[/tex]

Теперь продифференцируем u по x:
[tex]\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1 + 2x^{1/3}}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2}{3x^{2/3}*\sqrt{3}}[/tex]

Собираем все вместе:
[tex]\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{3} \frac{1}{1+u^2} \frac{2}{3x^{2/3}*\sqrt{3}}[/tex]

Таким образом, получаем окончательный результат:
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3(x^{2/3}+3)^2}[/tex]