Для того чтобы график функции y = |x^2 - 8x - a^2 - a + 18| имел три общие точки с прямой y = 4, необходимо и достаточно, чтобы уравнение y = |x^2 - 8x - a^2 - a + 18| = 4 имело ровно три корня.

Так как абсолютная функция может принимать только значение 0 или положительное значение, то уравнение y = |x^2 - 8x - a^2 - a + 18| = 4 имеет 3 корня, если значение внутри модуля станет равным 0 в трех точках.

Это происходит, когда x^2 - 8x - a^2 - a + 18 = 4, то есть x^2 - 8x - a^2 - a + 14 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен D = (-8)^2 - 41(-a^2 - a + 14) = 64 + 4a^2 + 4a - 56 = 4a^2 + 4a + 8.

Чтобы уравнение имело два действительных корня, дискриминант должен быть больше 0: 4a^2 + 4a + 8 > 0.

Дискриминант такого уравнения положителен при любых значениях a, так как 4ac = 448 = 128 и D > 0 несмотря на значения a.

Итак, график функции y = |x^2 - 8x - a^2 - a + 18| имеет три общих точки с прямой y = 4 для любых положительных значений параметра a.