Для решения данной системы уравнений методом Гаусса следует составить расширенную матрицу и последовательно преобразовывать её элементы, чтобы привести её к ступенчатому виду.

Расширенная матрица системы:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
1 & -1 & 1 & 1 & -2 & | & 0 \
3 & 3 & -3 & -3 & 4 & | & 2 \
4 & 5 & -5 & -5 & 7 & | & 3 \
\end{bmatrix}
]

Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 1/2:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
0 & -3/2 & 3/2 & 3/2 & -5/2 & | & -1/2 \
3 & 3 & -3 & -3 & 4 & | & 2 \
4 & 5 & -5 & -5 & 7 & | & 3 \
\end{bmatrix}
]

Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 3/2:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
0 & -3/2 & 3/2 & 3/2 & -5/2 & | & -1/2 \
0 & 3/2 & -3/2 & -3/2 & 3/2 & | & 3/2 \
4 & 5 & -5 & -5 & 7 & | & 3 \
\end{bmatrix}
]

Вычитаем из четвёртой строки первую, умноженную на 2:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
0 & -3/2 & 3/2 & 3/2 & -5/2 & | & -1/2 \
0 & 3/2 & -3/2 & -3/2 & 3/2 & | & 3/2 \
0 & 3 & -3 & -3 & 5 & | & 1 \
\end{bmatrix}
]

Делим вторую строку на -3/2:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5/3 & | & 1/3 \
0 & 3/2 & -3/2 & -3/2 & 3/2 & | & 3/2 \
0 & 3 & -3 & -3 & 5 & | & 1 \
\end{bmatrix}
]

Вычитаем из третьей строки вторую, умноженную на 3/2:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5/3 & | & 1/3 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 \
0 & 3 & -3 & -3 & 5 & | & 1 \
\end{bmatrix}
]

Вычитаем из четвёртой строки вторую, умноженную на 3:

[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & -1 & 1 & | & 1 \
0 & 1 & -1 & -1 & 5/3 & | & 1/3 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & -10 & | & 0 \
\end{bmatrix}
]

Последняя строка противоречит уравнениям системы, поэтому данная система несовместна.