Для начала преобразуем выражение под знаком интеграла:
[tex]\int{\frac{1}{x^{2}-\frac{1}{2}} \,dx}[/tex]

Разложим знаменатель на множители:
[tex]x^{2} - \frac{1}{2} = (x - \frac{1}{\sqrt{2}})(x + \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

Теперь выражение принимает вид:
[tex]\int{\frac{1}{(x - \frac{1}{\sqrt{2}})(x + \frac{1}{\sqrt{2}})} \,dx}[/tex]

Разложим дробь на простейшие:
[tex]\frac{1}{(x - \frac{1}{\sqrt{2}})(x + \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{A}{x - \frac{1}{\sqrt{2}}} + \frac{B}{x + \frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex]

Умножим обе части на знаменатель и найдем значения A и B:
[tex]1 = A(x + \frac{1}{\sqrt{2}}) + B(x - \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

Подставим значения x = \frac{1}{\sqrt{2}} и x = -\frac{1}{\sqrt{2}}:
[tex]1 = A(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + B(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]
[tex]1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]1 = B(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \implies B = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]

Теперь выражение под интегралом можно записать в виде:
[tex]\int{(\frac{1}{2(x - \frac{1}{\sqrt{2}})} + \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{x + \frac{1}{\sqrt{2}}}) \,dx}[/tex]

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
[tex]\int{\frac{1}{2(x - \frac{1}{\sqrt{2}})} \,dx} = \frac{1}{2} \ln{|x - \frac{1}{\sqrt{2}}|} + C{1}[/tex]
[tex]\int{\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{x + \frac{1}{\sqrt{2}}} \,dx} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln{|x + \frac{1}{\sqrt{2}}|} + C{2}[/tex]

Где С1 и C2 - константы интегрирования.

Таким образом, окончательно:
[tex]\int{\frac{1}{x^{2}-\frac{1}{2}} \,dx} = \frac{1}{2} \ln{|x - \frac{1}{\sqrt{2}}|} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ln{|x + \frac{1}{\sqrt{2}}|} + C[/tex]