Дано дифференциальное уравнение:

y' = x/y * e^(2x) + y

Для решения этого уравнения можно применить метод вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид y(x) = C(x) * e^(2x), где C(x) - функция, которую нужно найти.

Продифференцируем данное предполагаемое решение:

y'(x) = C'(x) e^(2x) + C(x) 2e^(2x)

Подставим это в исходное уравнение:

C'(x) e^(2x) + C(x) 2e^(2x) = x / (C(x) e^(2x)) e^(2x) + C(x) * e^(2x)

Сократим e^(2x) и упростим уравнение:

C'(x) + 2C(x) = x + C(x)

Теперь решим это линейное дифференциальное уравнение:

C'(x) + C(x) = x

Это уравнение можно решить, используя метод интегрирующего множителя или метод вариации постоянных.

После нахождения функции C(x) найденные C(x) и e^(2x) подставляем в исходное предполагаемое решение y(x) = C(x) * e^(2x), и получаем окончательное решение уравнения.