Для нахождения приближенного значения числового выражения с помощью дифференциала, необходимо сначала найти производные каждого из слагаемых:

( f(x) = x^{5/4} )
( f'(x) = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x} )

( g(x) = x^5 )
( g'(x) = 5x^4 )

( h(x) = 15 )
( h'(x) = 0 ) (производная константы равна нулю)

Теперь подставим значения ( x_0 = 4 ) и ( dx = 0.03 ) в эти производные и сложим:

( f'(4) = \frac{5}{4}\sqrt[4]{4} = \frac{5}{4}\sqrt[4]{4} = \frac{5}{4} \cdot 2 = 2.5 )
( g'(4) = 5 \cdot 4^4 = 5 \cdot 256 = 1280 )
( h'(4) = 0 )

Теперь найдем значение выражения:

( \Delta f = f'(4) \cdot dx = 2.5 \cdot 0.03 = 0.075 )
( \Delta g = g'(4) \cdot dx = 1280 \cdot 0.03 = 38.4 )
( \Delta h = h'(4) \cdot dx = 0 )

Теперь сложим значения дифференциалов и добавим к начальному значению выражения:

( \Delta f + \Delta g + \Delta h = 0.075 + 38.4 + 0 = 38.475 )

Таким образом, приближенное значение числового выражения ( \sqrt[5]{4.03^2} + 0.96^5 + 15 ) при ( x = 4.03 ) будет примерно равно 38.475.