Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z = f(x, y) = 0,5x^2 - xy в замкнутой области D, необходимо найти критические точки и значения функции на границе области.

Сначала найдем критические точки, для этого найдем частные производные функции f по x и y и приравняем их к нулю:
∂f/∂x = x - y = 0
∂f/∂y = -x = 0

Из первого уравнения получаем x = y, а из второго x = 0. Следовательно, критическая точка (0, 0) должна лежать на границе области D.

Теперь найдем значения функции z в узлах области D:

При y = x:
z = 0,5x^2 - x^2 = -0,5x^2При y = 4:
z = 0,5x^2 - 4xПри x = 0:
z = 0

Теперь сравниваем полученные значения и выбираем наибольшее и наименьшее:

Наибольшее значение функции z = f(x, y) равно 0 и достигается при x = 0.Наименьшее значение функции z = f(x, y) равно -2 и достигается при x = y = -2.

Таким образом, наибольшее значение функции в области D равно 0, а наименьшее значение равно -2.