Для исследования функции на монотонность и экстремумы сначала найдем производную данной функции.

f(x) = -x^2 + 4x + 1

f'(x) = -2x + 4

Для поиска экстремумов приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума:

-2x + 4 = 0
-2x = -4
x = 2

Точка x = 2 является точкой экстремума функции.

Теперь исследуем монотонность функции в окрестности точки x = 2.

Для этого рассмотрим знак производной в интервалах:
1) x < 2:
Подставим x = 1 (например):
f'(1) = -2*1 + 4 = 2 > 0

2) x > 2:
Подставим x = 3 (например):
f'(3) = -2*3 + 4 = -2 < 0

Таким образом, функция убывает на интервале x < 2 и возрастает на интервале x > 2.

Таким образом, у функции f(x) = -x^2 + 4x + 1 есть локальный максимум в точке x = 2 и она убывает на интервале (-∞, 2) и возрастает на интервале (2, +∞).