Дано:
длина диагонали прямоугольного параллелепипеда d = 7√2 см,
угол между диагональю и плоскостью основания α = 45⁰,
площадь основания S_осн = 15 см.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда S_бок можно найти по формуле:
S_бок = 2 S_осн + dh,

где h - высота параллелепипеда.

Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 45⁰, то мы можем представить диагональ в виде гипотенузы прямоугольного треугольника, а высоту параллелепипеда - в катете.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, высота h равна:
h = d sin(α) = 7√2 sin(45⁰) = 7√2 * √2 / 2 = 7 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
S_бок = 2 S_осн + dh = 2 15 + 7√2 7 = 30 + 49 = 79 см.

Итак, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 79 квадратных сантиметров.