Дано два уравнения кривых:

1) (r^2 = 2 \sin(2x))
2) (r = 1), при этом (r \geq 1)

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых. Подставим выражение (r = 1) в уравнение (r^2 = 2 \sin(2x)):

[1^2 = 2 \sin(2x)]
[1 = 2 \sin(2x)]
[\sin(2x) = \frac{1}{2}]
[2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}]

Отсюда получаем два значения (x):

1) (x_1 = \frac{\pi}{12} + \pi n)
2) (x_2 = \frac{5\pi}{12} + \pi n)

Теперь найдем площадь области, ограниченной этими кривыми. Эта площадь равна разности площадей между кривыми (r^2 = 2\sin(2x)) и (r = 1).

[S = \frac{1}{2} \int_{x_1}^{x_2} (r_1^2 - r2^2) \, d\theta]
[S = \frac{1}{2} \int{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} ((2\sin(2x)) - (1)) \, dx]
[S = \frac{1}{2} \int{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} (2\sin(2x) - 1) \, dx]
[S = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}\cos(2x) - x\right]{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}}]
[S = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{5\pi}{12} + \frac{1}{2}\cos(\frac{5\pi}{6}) + \frac{\pi}{12}\right)]
[S = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\pi}{12}\right)]
[S = \frac{1}{2} \left(-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{12}\right)]
[S = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}\right)]
[S = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{4\pi}{12})]
[S = -\frac{\pi}{6}]

Итак, площадь области, ограниченной данной кривой, равна (-\frac{\pi}{6}).

Пожалуйста, проверьте вычисления на ошибки.