Для нахождения экстремумов функции y=x^3 + x^2 - 8x + 1 необходимо найти ее производную и вторую производную.

Первая производная функции y=x^3 + x^2 - 8x + 1:
y' = 3x^2 + 2x - 8

Теперь найдем вторую производную:
y'' = 6x + 2

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти корни уравнения y' = 0:
3x^2 + 2x - 8 = 0

Дискриминант D = 2^2 - 43(-8) = 4 + 96 = 100

x1,2 = (-2 ± √100)/(2*3) = (-2 ± 10)/6
x1 = 8/6 = 4/3
x2 = -12/6 = -2

Подставляем найденные значения x1 = 4/3 и x2 = -2 во вторую производную для определения вида экстремума:
y''(4/3) = 6(4/3) + 2 = 8
y''(-2) = 6(-2) + 2 = -10

Таким образом, при x = 4/3 функция имеет локальный минимум, а при x = -2 имеет локальный максимум.