Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением производной функции.

По определению производной, производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

f'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x)) / Δx, где Δx -> 0.

Рассмотрим функцию f(x) = (x^3). Ее производная будет равна:

f'(x) = lim ((x + Δx)^3 - (x^3)) / Δx, где Δx -> 0.

Раскроем скобки в числителе:

f'(x) = lim (x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3 - x^3) / Δx, где Δx -> 0.

f'(x) = lim (3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3) / Δx, где Δx -> 0.

Упростим выражение, убрав общий сомножитель Δx и перенеся предел внутрь:

f'(x) = lim (3x^2 + 3xΔx + Δx^2), где Δx -> 0.

Так как Δx стремится к нулю, то выражение 3xΔx и Δx^2 также стремятся к нулю. Поэтому можем упростить выражение:

f'(x) = 3x^2.

Таким образом, производная функции f(x) = (x^3) равна 3x^2. Это доказывает утверждение.