Для определения направлений выпуклости и точек перегиба графика функции необходимо найти вторую производную функции f(x) и решить уравнение f''(x) = 0.

Сначала найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = 15x^4 - 20x^3 + 3

Теперь найдем вторую производную функции f(x) (подставим первую производную в формулу):

f''(x) = 60x^3 - 60x^2

Далее, найдем точки перегиба, решив уравнение f''(x) = 0:

60x^3 - 60x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

60x^2 (x - 1) = 0

Из уравнения получаем два корня:

x1 = 0
x2 = 1

Теперь определим направления выпуклости:

В точке x = 0 функция меняет своё направление выпуклости с выпуклого вверх (когда x < 0) на выпуклое вниз (когда x > 0).

В точке x = 1 функция меняет своё направление выпуклости с выпуклое вниз (когда x < 1) на выпуклое вверх (когда x > 1).

Таким образом, точки перегиба графика функции f(x) равны x = 0 и x = 1, а направления выпуклости меняются соответственно как описано выше.