Общий вид первообразных функции f(x)= cos^2(x) - \frac{1}{\sqrt{2x-3} + 2}

Для нахождения первообразной данной функции, можно воспользоваться методом подстановки. Пусть y = 2x - 3. Тогда, 2x = y + 3, и

f(x) = \cos^2(x) - \frac{1}{\sqrt{2x-3} + 2}
ф(x) = \cos^2(x) - \frac{1}{\sqrt{y} + 2}
ф(x) = \cos^2(x) - \frac{1}{y^{1/2} + 2}
ф(x) = \cos^2(x) - \frac{1}{{2(y^{1/2} + 2)}} ф(x) = \cos^2(x) - \frac{1}{2\sqrt{y} + 4}

Теперь мы можем найти первообразную данной функции. первообразная
\int(\cos^2(x) - \frac{1}{2\sqrt{y} + 4}) dx = \int(\cos^2(x))dx - \int(\frac{1}{2\sqrt{y} + 4})dx

Интегрирование первого слагаемого можно выполнить аналогично, и мы получим

\int(\cos^2(x))dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos(2x))dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin(2x)) + C_1

Интегрирование второго слагаемого можно выполнить методом подстановки. Пусть z = 2\sqrt{y} + 4. Тогда, \sqrt{y} = \frac{z-4}{2}, 2\sqrt{y} = z - 4, x= \frac{y+3}{2}

dx = \frac{dy}{2}, \int(\frac{1}{2\sqrt{y} + 4})dx = \int(\frac{1}{z})dx = \frac{1}{2}\ln|z| + C_2

Заменяя z обратно и делая подстановку y = 2x - 3, мы получаем

\frac{1}{2}\ln(2\sqrt{2x-3} + 4) = \frac{1}{2}\ln(2(y^{1/2} + 2) = \ln(2x-2)

Таким образом, общий вид первообразных функции

ф(x) = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin(2x)) - \ln(2x - 2) + C

Где C - произвольная постоянная.