При движении в одном направлении оба мотоциклиста пересекаются через каждый круг.

Первый мотоциклист за 10 мин проезжает полный круг, значит его скорость равна 1 кругу за 10 мин, то есть 1/10 круга в минуту.Второй мотоциклист за 15 мин проезжает полный круг, значит его скорость равна 1 кругу за 15 мин, то есть 1/15 круга в минуту.

Через какое время первый мотоциклис обгонит второго ровно на круг?
Оба мотоциклиста обгоняются ровно на круг, когда первый мотоциклист проходит 1 круг больше второго. Разность их скоростей составляет 1/10 - 1/15 = 1/30 круга в минуту.

Пусть время обгона равно t минут. За это время первый мотоциклист проезжает t (1/10) кругов, а второй - t (1/15) кругов. При этом разность пройденных кругов должна быть равна 1:
t (1/10) - t (1/15) = 1
1/10 t - 1/15 t = 1
3t/30 - 2t/30 = 1
t/30 = 1
t = 30 минут

Таким образом, первый мотоциклист обгонит второго через 30 минут после старта.

Аналогично для обгона на 4 круга мы решаем уравнение:
t (1/10) - t (1/15) = 4
t * (1/10 - 1/15) = 4
t = 4 / (1/10 - 1/15)
t = 4 / (3/30)
t = 40 минут

Таким образом, первый мотоциклист обгонит второго на 4 круга через 40 минут после старта.

При движении в противоположных направлениях мотоциклисты встречаются через каждый отдельный круг.

Здесь можно использовать такой подход: скорость их относительного движения, складывая скорости каждого по отдельности.

В одно направление первый мотоциклист проезжает 1/10 круга в минуту, а в другое - 1/15 круга в минуту. Их относительная скорость при движении друг к другу равна сумме их скоростей: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 круга в минуту.Чтобы обгонять друг друга на каждом круге, первому мотоциклисту нужно пройти на 1/30 круга больше второго за единицу времени.

Значит, по той же логике, время, через которое первый мотоциклист обогонит второго на один круг со скоростью 1/30 круга в минуту, будет:
t = 1 / (1/30) = 30 минут.

Таким образом, при движении в противоположных направлениях первый мотоциклист обгонит второго на один круг через 30 минут после старта.