Квадратичная форма данной кривой В(x,y)=7x2+24xy, отсюда:

Решаем характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы

; Решив квадратное уравнение получим1=16,2=-9.

т.к. 1*2<0 то кривая гипербола. Находим собственные векторы матрицы В. Для собственного числа1=16 получаем систему Эта система имеет бесконечное множество решений. Выбираем любое целочисленное число1=42=3.

Вектор Р1=(4,3) –соответствует собственному числу1=16. Найдём координаты орта Р10вектора Р1, получаем Р20=(). Выбираем правый базис для новой системы координат, это будет (Р10,Р20).

От старого базиса переходим к новому. Матрица перехода имеет вид:

Q= 

Новые координаты связанны со старыми соотношением 

В новой системе координат уравнение гиперболы принимает вид:

или

. Выделяя полные квадраты получаем:или

Видим, что действительная полуось а=11,482,а мнимаяb=20,412.

Произведём преобразование параллельного переноса системы координат в новое начало О1по формулам или 

В системе координат (O1,w,z) гипербола имеет уравнение, осиO1w,O1zнаправлены по прямым,. Координаты точки О1являются центром симметрии гиперболы, находим, решая систему .Получаемx=-2,583y=0,507,O1(-2,583, 0,507). Для построения гиперболы строим в старой системе координат новую систему координат, в которой строим данную гиперболу.