Для начала приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для первых двух дробей будет $(2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7}) = 4 - 7 = -3$, а для третьей дроби - 3. Тогда выражение можно переписать следующим образом:

$$\frac{2}{2 - \sqrt{7}} + \frac{3}{2 + \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{(2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7})} + \frac{3(2 - \sqrt{7})}{(2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7})} + \frac{\sqrt{7} \cdot (- \sqrt{7})}{3 \cdot (- \sqrt{7})} = $$

$$= \frac{4 + 2\sqrt{7}}{-3} - \frac{6 - 3\sqrt{7}}{-3} - \frac{7}{3} = \frac{-2 + 5\sqrt{7} - 7}{-3} = \frac{-9 + 5\sqrt{7}}{-3} = \frac{5\sqrt{7} - 9}{-3} = \frac{9 - 5\sqrt{7}}{3}$$

Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{9 - 5\sqrt{7}}{3}$.