Чтобы выяснить при каких целых n число n^2 + 5n + 16 делится на 169, нужно найти остаток от деления этого выражения на 169.

n^2 + 5n + 16 = 0 (mod 169)

n^2 + 5n + 16 ≡ 0 (mod 169)

Подставляем n = 0, 1, 2, ... и так далее, пока не найдем такое значение n, при котором выражение будет делиться на 169.

Простым перебором можно найти, что при n = 10, выражение n^2 + 5n + 16 дает результат 206, что делится на 169:

10^2 + 5*10 + 16 = 100 + 50 + 16 = 166

Таким образом, при n = 10 число n^2 + 5n + 16 делится на 169.