Начнем с домножения обеих частей на [tex] (\sqrt{x-1}-1)[/tex], чтобы избавиться от знаменателя. Получим:

[tex]6-x \leq \sqrt{x-1}-1[/tex].

Теперь избавимся от квадратного корня, возведя обе части в квадрат:

tex^2 \leq (x-1)-1[/tex].

tex^2 \leq x-2[/tex].

[tex]36 - 12x + x^2 \leq x - 2[/tex].

[tex]x^2 - 13x + 38 \leq 0[/tex].

Теперь найдем корни квадратного уравнения [tex]x^2 - 13x + 38 = 0[/tex]:

[tex]x_1 = \frac{13+\sqrt{169-4*38}}{2} = 8[/tex],

[tex]x_2 = \frac{13-\sqrt{169-4*38}}{2} = 5[/tex].

Следовательно, неравенство
[tex]\frac{6-x}{\sqrt{x-1}-1} \leq 1[/tex]
выполняется для [tex]x \in [8; \infty)[/tex].