Общее количество кубиков, полученных после распиливания, будет равно $(7^3) = 343$ кубиков.

Кубик с окрашенной гранью имеет 1 грань, окрашенную. Так как на кубике 6 граней, окрашенных будет $\frac{1}{6}$ кубика.

Таким образом, количество кубиков с одной окрашенной гранью будет равно $343 \cdot \frac{1}{6} = 57$ кубиков.