Для нахождения объема четырехугольной призмы нужно умножить площадь основания на высоту.

По условию известно, что диагональ основания равна 4√2. Поскольку основание четырехугольной призмы является квадратом, то сторона квадрата равна половине диагонали. Таким образом, сторона основания равна (a = \frac{4√2}{2} = 2√2).

Также известно, что диагональ образует с боковой гранью угол 30 градусов. Зная длину стороны основания и угол между диагональю и стороной, можно найти высоту четырехугольной призмы по теореме косинусов:

[ h = a \cdot \sin(30^\circ) = 2√2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \, \text{ед} ]

Теперь можем вычислить объем призмы:

[ V = S_{\text{осн}} \cdot h = a^2 \cdot h = (2√2)^2 \cdot 2 = 8 \, \text{ед}^3 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен 8.