Перепишем неравенство в виде (x² + 6x)² - 49 ≤ 0.

Решим квадратное уравнение (x² + 6x)² - 49 = 0.

Получим два уравнения:
1) x² + 6x + 7 = 0;
2) x² + 6x - 7 = 0.

Первое уравнение имеет два решения: x₁ = -1 и x₂ = -6.

Второе уравнение также имеет два решения: x₃ ≈ 1.162 и x₄ ≈ -7.162.

Таким образом, уравнение (x² + 6x)² - 49 = 0 имеет четыре решения.

Теперь мы можем найти интервалы, в которых неравенство выполнено:
1) (-∞, -7.162);
2) (-7.162, -6);
3) (-6, -1);
4) (-1, +∞).

Таким образом, неравенство (x² + 6x)² ≤ 49 имеет четыре целых решения.