Предположим, что граф не останется связным после удаления одной вершины. Это означает, что в результате удаления одной вершины граф разделится на две или более компонент связности.

Поскольку у каждой вершины четная степень, при удалении одной вершины количество ребер, инцидентных каждой вершине в результате будет уменьшаться на один. Это означает, что у каждой вершины останется четное количество инцидентных ребер, что противоречит тому, что граф разделится на две или более компонент связности.

Таким образом, предположение о том, что граф не останется связным после удаления одной вершины, неверно. Граф останется связным после удаления одной вершины.