Дано: [tex]\sqrt{x} +\frac{1}{\sqrt{x} } =5[/tex]

Мы заметим, что данное уравнение может быть решено путем квадратного уравнения.

Пусть [tex]u=\sqrt{x}[/tex]. Тогда наше уравнение можно переписать в виде:

[tex]u + \frac{1}{u} = 5[/tex]

Теперь умножим обе части на [tex]u[/tex]:

[tex]u^2 + 1 = 5u[/tex]

Перенесем все члены на одну сторону:

[tex]u^2 - 5u + 1 = 0[/tex]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

[tex]u = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 411}}{2*1}[/tex]

[tex]u = \frac{5 \pm \sqrt{25-4}}{2}[/tex]

[tex]u = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}[/tex]

Таким образом, получаем два значения для [tex]u[/tex]:

[tex]u = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}[/tex] и [tex]u = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}[/tex]

Теперь мы можем найти [tex]x[/tex] обратно:

Для [tex] u = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}[/tex]:

[tex] \sqrt{x} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}[/tex]

[tex] x = \left( \frac{5+ \sqrt{21}}{2} \right)^2 = \frac{25 + 10 \sqrt{21} + 21}{4} = \frac{46 + 10 \sqrt{21}}{4} = 11 + 5 \sqrt{21}[/tex]

Для [tex] u = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}[/tex]:

[tex] \sqrt{x} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}[/tex]

[tex] x = \left( \frac{5- \sqrt{21}}{2} \right)^2 = \frac{25 - 10 \sqrt{21} + 21}{4} = \frac{46 - 10 \sqrt{21}}{4} = 11 - 5 \sqrt{21}[/tex]

Итак, [tex] x = 11 + 5 \sqrt{21}[/tex] или [tex]x = 11 - 5 \sqrt{21}[/tex].