Для доказательства данного тождества воспользуемся определениями тригонометрических функций:

Синус альфа = противолежащий катет / гипотенуза
Косинус альфа = прилежащий катет / гипотенуза
Тангенс альфа = противолежащий катет / прилежащий катет

Исходное тождество: sin(α) / (1 + cos(α)) = tan(α) / 2

Для начала преобразуем левую часть:

sin(α) / (1 + cos(α)) = sin(α) / (1 + cos(α)) (1 - cos(α)) / (1 - cos(α))
sin(α) (1 - cos(α)) / (1 - cos^2(α))
sin(α) (1 - cos(α)) / sin^2(α)
(1 - cos(α)) / sin(α)
(1 - cos(α)) / sin(α) sin(α) / sin(α)
(1 - cos(α)) * sin(α) / (sin(α))^2
sin(α) - sin(α)cos(α) / sin^2(α)
sin(α) / sin^2(α) - cos(α) / sin(α)
1 / sin(α) - cos(α) / sin(α)
cosec(α) - cot(α)

Теперь преобразуем правую часть:

tan(α) / 2 = sin(α) / cos(α) / 2
sin(α) / (2cos(α))
sin(α) / sin(α)cos(α) = cosec(α) / cos(α) = cosec(α) / cot(α)

Таким образом, левая и правая части тождества действительно равны. Тождество доказано.